Cosa intendi per matrice coerente?
I matematici se la cavano rispondendo a questa domanda con «matrice semidefinita positiva».
Io, per non farmi detestare più del necessario, spiego che semplicemente una matrice delle covarianze è internamente coerente quando il passaggio alla matrice di correlazione dà sempre come risultato tutti valori compresi tra -1 e 1.
Quando si vuole tenere conto dell'eteroschedasticità dei rendimenti finanziari con modelli un pelo più complessi di una dev. st. in finestra mobile o di una EWMA a parametro fissato c'è un forte rischio che quella condizione non si verifichi, cioè esemplificando: se tu stimassi un GARCH(1,1) per ogni azione che vuoi comprare e volessi farti una matrice delle covarianze combinando le stime dei modelli, otterresti correlazioni senza senso con valori abbondantemente in modulo maggiori di 1, che non hanno alcun significato.
Pertanto è necessario utilizzare modelli che tengano presente questo vincolo quando producono il loro
output; da qui nasce il filone degli ormai famosi GARCH multivariati: BEKK, GO-GARCH, DCC e GDC per dire i più famosi.
Gli stimatori campionari non hanno questo problema, ma per esperienza personale in R un APARCH(1,1) ortogonale su una trentina di titoli impiega solo qualche minuto scegliendo un algoritmo tra i più lenti, ad occhio direi che con un processore decente e qualche accorgimento computazionale 300 titoli non richiedano più di un paio d'ore.
Se vuoi un parere personale, il modello più agile e comodo che abbia sperimentato in quel campo è proprio il GO-GARCH, che usa la PCA per ottenere combinazioni lineari di modelli GARCH che siano linearmente indipendenti.
Hoadley ha una cosa simile; un bel lavoro di Peter, non c'è che dire.
Un esempio di matrice delle varianze e delle covarianze non coerente è:
Codice:
Stock 1 Stock 2 Stock 3
Stock 1 1.0 0.0 0.9
Stock 2 0.0 1.0 0.9
Stock 3 0.9 0.9 1.0
La varianza di ogni variabile è unitaria, per cui le covarianze coincidono con i coefficienti di correlazione. La prima variabile è fortemente correlata con la terza e anche la seconda è fortemente correlata con la terza. Tuttavia, non c'è correlazione tra la prima e la seconda variabile, il che è piuttosto strano.
Come vedi in questo caso estremo la corrispondente matrice di correlazione è identica (le varianze sono unitarie), ma usarla per ottimizzare un portafoglio ti darebbe risultati... strampalati.