Come calcolare correttamente il rendimento di un fondo? Scopriamolo!

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L'obiettivo della presente trattazione è quello di fornire dei criteri di calcolo per determinare correttamente i rendimenti dei fondi comuni d'investimento. Aimè occorrerà introdurre, come sempre in ogni questione economico-valutativa, un po' di matematica ma niente paura, in allegato troverai un tool in Excel come esempio di calcolo.

Nel precedente articolo (Vedi: I fondi comuni d’investimento: cosa sono? come funzionano? Ecco una guida per il risparmiatore) è stata costruita una guida generale e quanto più completa possibile sui fondi comuni d’investimento (tanto per ricordare, dato che è un patrimonio raccolto dai singoli risparmiatori, gestito in monte e suddiviso in quote, il valore di una quota di un fondo è pari al valore di mercato del fondo diviso per il numero di quote in circolazione)

L’obiettivo della presente trattazione è invece quello di fornire dei criteri di calcolo per determinare correttamente i rendimenti dei fondi comuni d’investimento. Aimè occorrerà introdurre, come sempre in ogni questione economico-valutativa, un po’ di matematica ma niente paura, in allegato troverai un tool in Excel come esempio di calcolo.

Prima di entrare nel Core dell’articolo è bene anticipare che il problema valutativo della performance di un fondo non finisce con la misurazione dei rendimenti. Per avere un quadro valutativo più completo, ossia che consenta di effettuare una scremazione fra possibili investimenti alternativi, occorre misurare anche il rischio, poiché due fondi molto simili potrebbero aver conseguito un uguale rendimento in un determinato periodo di tempo ma avendo corso rischi diversi. Ebbene tale questione sarà oggetto di trattazione futura.

Come misurare la redditività di un fondo? Il rendimento come metrica base

Chi sottoscrive una o più quote di un fondo comune d’investimento vuole in primo luogo sapere il valore che il proprio gestore crea in un certo intervallo temporale. Diventa quindi fondamentale, prima di tutto, introdurre delle metodologie di calcolo che consentano di misurare ex-post la redditività prodotta.

La prima misura fondamentale è quindi quella del rendimento, che può esser definito come l’incremento percentuale del valore dell’investimento in un determinato periodo di tempo; misura, in altre parole, la remunerazione per ogni euro di capitale investito (se il rendimento è del 10% significa che l’investimento rende 10 centesimi per ogni euro di capitale investito) in un certo lasso di tempo.

Possiamo quindi definire il rendimento, in un generico periodo compreso fra t0 (t zero) e T, nel modo seguente (nell’ipotesi che non si verifichi nessun flusso di cassa in entrata o in uscita in questo periodo e che i proventi siano percepiti alla fine del periodo, ossia alla data T):

 

Equazione 1: rendimento

 

Dove: R(t0, T) è il rendimento prodotto fra il tempo t0 e T; V(t0) è il valore del capitale inizialmente investito; D(T) sono i proventi (dividendi, cedole ecc) percepiti alla fine del periodo [t0 ,T]; V(T) è il valore finale del capitale, ossia V(t0) “aggiustato” per eventuale plusvalenze o minusvalenze.

Osservazione: i rendimenti vengono sempre calcolati in base al tempo, pertanto è sbagliato usare questa misura per confrontare la redditività di un investimento semestrale con quella di un investimento annuale.

Per rendere confrontabili i rendimenti di diversi peridi temporali è allora prassi convertirli su base temporale comune, che per convenzione viene posta pari ad 1 anno. Il calcolo di conversione è relativamente semplice e può avvenire, ad esempio in due modi a seconda che:

1. il calcolo avvenga tramite la legge di capitalizzazione semplice degli interessi

Equazione 2: Rendimento annualizzato in legge di capitalizzazione semplice

2. il calcolo avvenga tramite la legge di capitalizzazione esponenziale (o anche detta composta) degli interessi

Equazione 3: Rendimento annualizzato in legge di capitalizzazione composta

Dove il pedice A  indica che si vuole convertire il rendimento su base annuale e τ è il periodo di conversione: se il rendimento è giornaliero τ si pone uguale a 250 (sono più o meno i giorni di borsa aperta), se il rendimento è settimanale τ si pone pari a 52 (che sono le settimane dell’anno), se è semestrale si pone uguale a 2, se è trimestrale si pone uguale a 4, se è a due anni si pone uguale a 1/2, se è a 10 anni si pone uguale a 1/10 e cosi via (nel secondo caso τ si inserisce come potenza)

Osservazione: la corretta valutazione del rendimento di fondo comune d’investimento, ed in generale di un portafoglio gestito, non può seguire questa semplice metodologia di calcolo. Nella realtà, specie in un fondo aperto, si verificano dei flussi di cassa in entrata ed in uscita con periodicità anche quotidiana, poiché gli investitori possono entrare ed uscire dall’investimento durante la vita del fondo stesso.

La scelta dell’indice di rendimento più adatto dipende allora dall’obiettivo della valutazione:

  1. se l’obiettivo esclusivo è dato dall’interesse del risparmiatore a misurare la capacità del gestore di remunerare adeguatamente il capitale, la metrica da utilizzare deve essere “neutrale” ai flussi di cassa in entrata (investimenti) ed in uscita (disinvestimenti), poiché non dipendono dalle decisioni del gestore (la metrica corretta è il Time Weighted Return)
  2. se invece il singolo investitore è interessato a valutare il rendimento effettivo del suo investimento in un fondo comune occorre utilizzare una metrica che consideri, nella valutazione, anche gli apporti e le detrazioni di capitale che avvengono nel fondo in un arco di tempo specifico, e che coincide con il periodo dell’investimento (la metrica corretta è il Money Weighted Return)

Obiettivo di misurazione della capacità del gestore: il Time Weighted Return (TWR)

Per soddisfare questo obiettivo la letteratura ha proposto il time Weighted Return.

Tale metodologia di calcolo rende il rendimento neutrale ai flussi di cassa in entrata ed in uscita proprio perché un manager di un fondo aperto non ha più controllo sui tempi e l’ammontare di questi flussi.

In questo modo è quindi possibile, secondo gli standard delle linee guida GIPS (Global Investment Performance Standards), confrontare delle performance prodotte da fondi diversi, confrontandole fra loro (attenzione: lo stile del fondo deve essere quantomeno simile per una corretta comparabilità) o con quelle di un portafoglio benchmark neutrale rispetto a tutti i flussi di cassa non dipendenti da scelte di gestione.

Si consideri un generico periodo di valutazione [t0, T] caratterizzato da dei flussi di cassa che si verificano in n scadenze successive (t0, t1, t2,…….

, tn-1), ossia tali che t0 < t1 < t2 <…………< tn-1 < tn=T. Il rendimento prodotto nel sotto periodo [ti-1, ti] con i=1,2,……….,n è il seguente:

Equazione 4: rendimento del sotto periodo

Dove V(ti-1) è il patrimonio netto del fondo alla scadenza ti-1, ossia immediatamente prima dell’effetto del flusso F(ti) che si verifica in ti.

Il Time Weighted Return del periodo di valutazione complessivo [t0, T] è dato dal seguente calcolo:

Equazione 5: Time Weighted Return in regime di capitalizzazione composta

Che tradotto in italiano significa: il prodotto fra tutti i tassi di crescita (1+rendimento del sottoperiodo) – 1 (-1 sarebbe il capitale di partenza espresso in termini unitari, dato che il rendimento si esprime in termini unitari). Da considerare che il tasso di crescita informa sull’aumento di capitale, a livello unitario, su ogni sotto periodo.

Procedimento operativo

L’algoritmo di calcolo del Time Weighted Return usa come input  le date ed il valore di cash flow in entrata ed in uscita dal portafoglio ed i valori del fondo all’inizio e alla fine di ogni sottoperiodo delimitati dalle date dei cash flows.

Passo 1

Operativamente si considerino le seguenti date ed i corrispondenti dati:

31/05/2014 > valutazione a fine giornata del fondo: 1000 euro

09/06/2014 > valutazione a fine giornata del fondo: 1100 euro

10/06/2014 > valutazione a inizio giornata del fondo: 1100 euro; flusso in entrata: 200 euro;

19/06/2014 > valutazione a fine giornata del fondo: 1200 euro

20/06/2014 > valutazione a inizio giornata del fondo: 1200 euro; flusso in uscita: -100 euro;

30/06/2014 > valutazione a inizio giornata del fondo: 1200 euro; valutazione a fine giornata del fondo: 1200 euro

Passo 2 >

Dal suddetto schema si evincono 2 flussi di cassa e 3 sotto periodi che possono essere così suddivisi:

  1. 31/05/2014 – 09/06/2014
  2. 10/06/2014 – 19/06/2014
  3. 20/06/2014 – 30/06/2014

Ci sono un numero di sotto periodi pari a 1+ num date cash flow

Passo 3  > calcolo i rendimenti del sottoperiodo con l’equazione 4

Rendimento sotto periodo 1: [ 1100 / (1000 + 0) ] – 1 = 0,1 (o 10%)

Rendimento sotto periodo 2: [ 1200 / (1100 + 200) ] -1 = -0,0769231 (o – 7,69231%)

Rendimento sotto periodo 3: [ 1200 / (1200 – 100) ] -1 = 0,091 (o 9,1%)

Passo 4 > calcolo il Time Weighted Return con l’equazione 5

TWR = [ ( 1 + 0,1 ) x ( 1 – 0,0769231 ) x ( 1 + 0,0909 ) ]  – 1 = 0,1077 (o 10,77%)

Come detto, in tal modo si elimina l’impatto dei cash flow per analizzare la performance isolando gli effetti delle sole decisioni del manager; in tal modo è possibile comparare le performance dei managers con i bechmark.

Osservazione: in alcuni casi il TWR non è la misura più appropriata, e cioè quando i manager hanno potere decisionale sul timing dei flussi in entrata ed in uscita.

Obiettivo di misurazione del rendimento effettivo: il Money Weighted Return (MWR)

Per soddisfare questa esigenza, dal punto di vista di un singolo investitore che vuole conoscere il rendimento effettivamente sperimentato, occorre introdurre una misura che venga influenzata sia dal timing delle decisioni degli investitori nell’apportare o ritirare denaro dal fondo che dalle decisioni dei manager.

Il Money Weighted Return viene calcolato includendo questi effetti, riconciliando il valore di mercato iniziale del fondo e i cash flow nel portafoglio al valore finale di mercato del fondo; il timing e l’ammontare dei flussi di casso hanno quindi impatto sul valore di mercato finale ed il calcolo di questo tipo di rendimento.

Questo diverso approccio di calcolo viene utilizzato perché  investitori diversi investiranno somme differenti e faranno i loro investimenti in momenti diversi.

Osservazione: a causa della diversa tempistica ed entità dei flussi di cassa, non è appropriato confrontare il MWR calcolato per investitori diversi

Quando non ci sono flussi di cassa, il calcolo del MWR equivale al calcolo del ROI senza la rettifica del flusso di cassa

Se invece vi sono cash flows dobbiamo tener conto del timing e dell’ammontare del flusso, e per tener conto del timing occorre calcolare un fattore di pesatura temporale: se si calcola un MWR su un anno e sono presenti due flussi di cassa, il primo alla fine di Gennaio e il secondo alla fine di Febbraio, i flussi verranno pesati con un valore di 0,92 alla fine Gennaio (ossia pari a 11/12: il flusso sarà disponibile ad essere investito per il 92% dell’anno) e con un valore di 0,83 a fine Febbraio (ossia pari a 10/12: il flusso sarà disponibile ad essere investito per l’83% dell’anno).

Dobbiamo quindi trovare una misura che riconcili il valore di mercato iniziale d’investimento ed i relativi cash flows successivi con il valore di mercato finale dell’investimento, e questa misura viene identificata dal tasso interno di rendimento (TIR). Possiamo quindi definire il TIR (o IRR, Internal Rate of Return in inglese) come quel tasso che consente di risolvere la seguente equazione:

Dove: MVB (Market Value Beginning) è il valore di mercato iniziale, MVE (Market Value End) è il valore di mercato finale dell’investimento, CFn è l’n-esimo generico flusso di cassa e IRR è il tasso interno di rendimento.

Sfortunatamente non è possibile risolvere questa equazione in forma chiusa ma solamente tramite procedure numeriche per tentativi e a riduzione progressiva dell’errore, come per esempio l’algoritmo di Newton (in Excel c’è il risolutore e la funzione TIR che possono essere utilizzate).

L’IRR rappresenta quindi un MWR, essendo approssimativamente uguale alla media ponderata dei rendimenti di ogni sottoperiodo all’interno di un lasso di tempo complessivo, in cui i pesi sono un prodotto della lunghezza del sotto periodo e della somma di denaro investita nel sotto periodo, a sua volta uguale a MVB più i flussi di cassa netti del sotto periodo. L’IRR rappresenta in altre parole il tasso di rendimento determinato dalla crescita dei valori di mercato del fondo e dai flussi di cassa aggiuntivi, spiegando la crescita di valore degli asset in un periodo determinato arco di tempo (in altre parole considera sia il timing che l’entità del flusso di cassa nel portafoglio). Essendo inoltre costante sul periodo di misurazione, ogni dollaro investito cresce allo stesso livello, non importando il momento in cui viene investito.

Ma niente paura se spaventano tutte queste definizioni e calcoli: se non vogliono esser usate particolari funzioni in Excel è stata comunque sviluppata una misura alternativa facilmente calcolabile in forma “chiusa” ed ideata da Peter Dietz, che è fu un associato alla Frank Russel pension consulting company e uno dei primi autori di libri sulla misurazione della performance.

Il calcolo è simile a quello del ROI -ed approssima il MWR- ma in tal caso i flussi di cassa utilizzati al denominatore per determinare l’importo investito dal risparmiatore vengono rettificati per considerare il tempo in cui i flussi sono stati disponibili durante l’investimento nel portafoglio. La formula Modified Dietz è pertanto quella che segue:

Dove: CF è l’ammontare dei flussi di cassa netti (somma algebrica), MVE (Market Value End) è il valore di mercato finale, MVB (Market Value Begin) è il valore di mercato iniziale

e:

In altre parole i cash flow (dove Cfi rappresenta il singolo cash flow) al denominatore vengono rettificati per riflettere la % del tempo in cui essi sono a disposizione del portfolio manager. Il fattore di rettifica è il seguente:

Ad esempio, se i giorni del periodo considerato sono 30 ed il flusso si verifica il 10° giorno del mese del periodo considerato allora il fattore di aggiustamento sarà pari a:

(30 – 10) / 30 = 0,67

Procedimento operativo

Nell’esempio precedente: MVB è pari a 1000 euro; MVE è pari a 1200 euro; il 1° cash flow in entrata si verifica il 10 giugno 2014 per 200 euro; il secondo cash flow in uscita si verifica il 20 giugno 2014 ed è pari a -100 euro.

Per cui:

  • il flusso di cassa netto è pari a 100 euro (200 + (-100) )
  • il primo flusso si rettifica per 0,6 periodico ( (30-10)/30 ) ed è pari a 133,33 euro (200 x 0,66666666)
  • il secondo flusso si rettifica per 0,3 periodico ( (30-20)/30 ) ed è pari a -33,33 euro (-100 x 0,33333333)
  •  il flusso di cassa netto rettificato è  quindi pari a 100 euro (133,33 + (-33,33) )

Pertanto il Modified Dietz Return è pari a:

MDR (o MVR) = ( 1200 – 1000 – 100 ) / (1000 + 100 ) = 100 / 1100 = 0,0909 (o 9,091%)

Problemi ed errori di stima del TWR

Il TWR è la miglior misura per calcolare i rendimenti usati nel valutare la performance dei portfolio manager. Infatti, per migliorare la comparabilità dei rendimenti ottenuti dai diversi manager di investimento, gli standard AIMR (Association For Investment and Research) richiedono l’utilizzo di tale metrica.

Tuttavia, una valutazione di questo tipo richiede di conoscere il valore del fondo prima di ogni flusso di cassa, e purtroppo questo tipo di valutazioni periodiche non sono sempre disponibili. Ciò perché:

  • il processo di valutazione (fra cui ad esempio l’ottenimento dei prezzi di mercato di tutti i titoli in portafoglio, le riconciliazioni bancarie di cash e posizioni ecc) comporta dei costi che soprattutto gli investitori di lungo termine -come i fondi pensione- non vogliono sostenere con troppa frequenza
  • molti veicoli d’investimento vengono valutati solo mensilmente, mentre i clienti possono prelevare/depositare in qualunque giorno del mese

Fino a che la valutazione giornaliera -che sta diventando sempre più utilizzata- non sarà disponibile per tutti i veicoli d’investimento, occorre approssimare il “vero” TWR ogni volta che si verifica un cash flow e non è disponibile la valutazione del fondo nel periodo antecedente.

Nella pratica, quando si vuole valutare il portfolio manager e non si ha a disposizione la stima che consenta di computare correttamente ogni cash flow, il metodo di approssimazione più comune del TWR è il metodo MWR Linked. Tale metodo richiede:

  1. il calcolo del MWR per ogni sottoperiodo compreso fra le date di valutazione. Per fare questo si utilizza un IRR mensile o un MDR (Modified Dietz Return) mensile, ipotizzando che il portafoglio sia valutato alla fine di ogni mese.
  2. di concatenare gli MWR dei vari sottoperiodi su periodi più lunghi usando lo stesso metodo di concatenamento che si utilizza per legare i rendimenti dei sotto periodi all’interno del “vero TWR”.

Calcolando il TWR in questo modo, si assume che il tasso di rendimento sia costante su tutto il sotto periodo invece di calcolare il rendimento effettivamente ottenuto. La stima MWR liked del TWR fornisce una buona approssimazione del TWR in contesti in cui i flussi di cassa sono piccoli rispetto all’entità del portafoglio del portafoglio e non è presente una forte  volatilità dei rendimenti nel periodo considerato.

Ciò implica che se i flussi di cassa sono ampi e/o è presente forte volatilità all’interno del periodo, la stima del TWR fatta dal MWR è sbagliata.

È importante notare che il MWR linked è una stima del TWR su lassi di tempo maggiori, poiché anche se i flussi di cassa vengono rettificati all’interno dei sotto periodi questi influiranno comunque sui rendimenti risultanti. Il processo di concatenamento non smussa o elimina in alcun modo l’influenza dei flussi di cassa sul calcolo del rendimento cumulativo, come in un vero TWR. In alcune situazioni, il TWR calcolato usando il metodo di stima MWR associato potrebbe essere molto più simile al MWR rispetto al TWR.

Si può analizzare la misura dell’errore combinando l’ampiezza del flusso di cassa come una percentuale del saldo iniziale e la volatilità dell’investimento durante il periodo.

Si ipotizzi ad esempio di avere un portafoglio in cui la stima viene fatta solo su base mensile ma il flusso di cassa può verificarsi durante il mese. Possiamo calcolare il MWR usando il Modified Dietz Return e usarlo poi come il TWR stimato del mese nel computo del rendimento di lungo periodo. Nel tool esempio di Excel si ipotizza che i flussi di cassa si verificano a metà mese. Si evidenzia come il MWR diventa un’approssimazione del TWR progressivamente peggiore all’aumentare dei flussi di cassa come percentuale del valore di mercato e delle variazioni relative nel valore di mercato in un periodo.

Ciò detto è anche da dire che la stima del TWR fatta dal MWR linked fornisce in molti casi un’approssimazione ragionevole dell’esatto TWR.

Eliminare le distorsioni degli ampi cash flows

Un escamotage per calcolare il TWR stimato usando il MWR e rimuovendo l’errore associato ai flussi di cassa ampi, è effettuare una valutazione speciale in cui ci siano flussi di cassa ampi, ed in seguito calcolare i rendimenti dei sotto periodi per i periodi contigui alle date degli ampi flussi di cassa. Perciò occorre identificare le situazioni in cui il MWR è stato effettivamente influenzato dai cash flows, utilizzando ad esempio dei valori soglia (per esempio il 10% del valore del portafoglio all’inizio del periodo). Questa tecnica di calcolo dei rendimenti del sotto periodo viene a volte chiamata metodo Stop the Clock.

Si effettua quindi una stima ad hoc per i periodi che terminano appena prima dei relativi cash flow. I rendimenti dei sotto periodi vengono concatenati insieme come nel calcolo TWR al fine di calcolare il rendimento periodico. Se poi sono presenti flussi di cassa aggiuntivi tra i sotto periodi caratterizzati da flussi di cassa ampi, essi verranno ponderati giornalmente usando o l’IRR o il metodo Dietz modificato.

Il tool esempio di Excel mostra come sia possibile approssimare il vero TWR calcolando due Modified Dietz Return del sottoperiodo e poi unirli insieme per formare il rendimento mensile di un dato portafoglio con le seguenti date e cash flows:

  • Data 28/02, Valutazione a fine giornata (MVE) 1000 euro
  • Data 09/03, Valutazione a fine giornata (MVE) 1050 euro
  • Data 19/03, Valutazione a fine giornata (MVE) 1500 euro
  • Data 31/03, Valutazione a fine giornata (MVE) 1800 euro
  • Data 10/03, Cash Flow 300 euro
  • Data 20/03, Cash Flow 50 euro

Conclusioni

Il corretto calcolo del rendimento di un fondo comune d’investimento dipende dall’obiettivo che si vuole raggiungere:

  1. se il fine è valutare la bravura di un portfolio manager (confronto fra fondi gestiti da manager diversi o fra fondo e benchmark) la metrica più corretta da utilizzare è il TWR, che misura il tasso di crescita di un singolo dollaro investito in un determinato arco di tempo. Tale funzione gli è stata attribuita proprio perché cerca di eliminare gli effetti del timing e dell’entità dei flussi di cassa su cui un manager non ha potere decisionale. Dal punto di vista statistico/matematico rappresenta il rendimento di un dollaro investito in un portafoglio in un determinato arco di tempo, e l’ordinamento dei flussi in entrata/uscita non importa. Lo svantaggio di tale metrica è dato dal bisogno di avere a disposizione una stima del valore di mercato del fondo prima di ogni cash flow
  2. se il fine è calcolare il rendimento effettivamente percepito dall’investitore la metrica più corretta da utilizzare è il MWR, che misura il tasso di crescita medio di un investimento effettuato in un determinato arco di tempo. Tale funzione gli è stata attribuita perché viene calcolato in modo da considerare sia l’entità che il timing del denaro investito. Dal punto di vista statistico/matematico rappresenta quel rendimento che riconcilia il valore di mercato del fondo all’inizio dell’investimento (MVB), i cash flows (CFs) ed il valore di mercato del fondo alla fine del periodo. Lo “svantaggio” è che per calcolare il vero MWR occorre effettuare un procedimento iterativo per tentativi ed a riduzione progressiva dell’errore (in excell c’è la funzione TIR o il solver che assolvono a questo compito), utilizzando in alternativa il MDR.

Nel precedente articolo abbiamo definito è stata costruita una guida generale e quanto più completa possibile sui fondi comuni d’investimento. In questo articolo abbiamo spiegato come calcolare correttamente il rendimento di un fondo. Ma la valutazione non finisce qui perché non abbiamo considerato un altro parametro fondamentale, il rischio, che sarà oggetto di trattazione futura.

Mi scuso per la “rozzezza” della presentazione in Excel ma l’importante è rendere l’idea.

calcolo rendimenti fondi

Nella prossima parte della trattazione invece l’argomento sara dato dai rendimenti multi periodo: Calcolo dei rendimenti multiperiodo (aritmetici, geometrici) dei fondi tramite Excel

 

Nota Bene: il trading e l’attività d’investimento in generale possono comportare rischi significativi per il capitale, con perdite che potrebbero in alcuni casi eccedere il capitale iniziale. Gli scenari di mercato cambiano continuamente e le performance passate non rappresentano garanzia delle performance future. È pertanto fondamentale assicurarsi di aver compreso tali rischi. Le informazioni presentate in questo sito non sono in alcun modo da intendersi come sollecito all’investimento e sono rivolte ad un pubblico indistinto, non rappresentando in alcun modo attività di consulenza finanziaria -e nemmeno generica- in base ai profili di rischio e rendimento degli investitori. Ogni decisione di investimento è sotto la piena ed esclusiva responsabilità del lettore. Né l’autore né investire oggi saranno responsabili nei confronti di nessun utente né di qualsivoglia altra persona o entità per l’inesattezza delle informazioni o per qualsiasi errore od omissione nei suoi contenuti, a prescindere della causa di tali inesattezze, errori od omissioni.

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