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27. Capital Gain / Loss alla data di Rimborso

Uno dei problemi a cui vanno incontro molti risparmiatori, che preferiscono tenere in portafoglio un certo bond sino alla sua scadenza naturale, è quello di conoscere:

1. il P.Scarico;
2. la eventuale PlusValenza o MinusValenza realizzata alla data di Scadenza o Rimborso.

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AVVERTENZA - Si raccomanda i Nuovi Lettori, interessati a queste Argomentazioni sugli Investimenti Finanziari in Obbligazioni, di partire dall'INIZIO DELL'ELABORATO, al seguente link:

Prezzo di Carico di una obbligazione, Capital Gain e sua Tassazione


In tal modo sarà assicurata la comprensione - credo con notevole soddisfazione - di tutti i concetti esposti. Il presente Elaborato non è interattivo, nel senso che non vi sono interventi editati da altri autori/lettori al di fuori dello scrivente.


BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE - Per concetti e metodi di Matematica Generale e Informatica, applicati in questo elaborato, ho fatto riferimento alle mie pubblicazioni:

Mario Battelli - CORSO DI MATEMATICA SPERIMENTALE E LABORATORIO. Volumi 1, 2, 3, 4 - Le Monnier

Questi LIBRI di MATEMATICA sono stati, per oltre 20 anni, fra i TESTI più adottati nei Licei e negli Istituti Tecnici.
Il Corso, composto di 4 volumi, è tuttora molto apprezzato per la chiarezza, modernità e completezza con cui sono esposti i più svariati argomenti matematici.
Grazie all'impostazione metodologica induttiva e per problemi concreti che li caratterizza, ritengo di poter affermare che questi testi si prestano particolarmente al conseguimento dei seguenti obiettivi:

1) apprendimento autodidattico della matematica;
2) formazione propedeutica all'accesso delle facoltà scientifiche universitarie;
3) preparazione agli esami di concorso a cattedra.

Gli argomenti sono presentati medianti opportuni esempi introduttivi ed illustrazioni grafiche, poi arricchiti di numerosissimi esercizi svolti, esercizi proposti ed esercizi di riepilogo, tutti corredati dei rispettivi risultati. L'approfondimento, anche spinto a livelli elevati, avviene quindi sempre con molta gradualità.
Argomenti trattati: Unità didattica riassuntiva e di recupero dei principali argomenti svolti alla Scuola Media. Algebra classica e moderna. Geometria euclidea tradizionale e delle trasformazioni. Geometria solida. Logica matematica. Calcolo combinatorio e delle probabilità. Statistica metodologica. Elementi di Informatica e Programmazione in Pascal. Logaritmi e applicazioni. Trigonometria e applicazioni. Geometria analitica. Analisi matematica (limiti, derivate e integrali).

I testi non sono in vendita nelle librerie né reperibili presso la casa editrice, poiché ormai sono fuori catalogo. Tuttavia si possono consultare nelle biblioteche e ancora trovare nel mercato dell'usato.

Mario Battelli

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Per rispondere ai quesiti preferiamo operare su un esempio concreto. Consideriamo allora l'obbligazione seguente, scaduta il 29/06/2009:


MERRIL LINCH ZC 29/06/09 (XS0301033436)

data.Emis=29/06/2007
P.Emis=97,00
data.Scad=29/06/2009
P.Scad=104,50

Si tratta di un normalissimo ZC per il quale è semplice calcolare le seguenti caratteristiche:

1) Disaggio% = 104,50 – 97,00 = 7,50

2) Durata:

T = 29/06/2009 – 29/06/2007 = 731 giorni effettivi

T = 2,00091 anni

ottenuta facendo uso della function:
FRAZIONE.ANNO(data.Emis; data.Scad; BaseCalc)
con BaseCalc=1, convenzione Act/Act.

3) Tasso interno:

i = (P.Scad/P.Emis)^(1/T) - 1
= (104,50/97,00)^(1/2,00091) – 1 = 3,79224%


1° quesito – Vogliamo conoscere il Prezzo di Scarico dello ZC alla data di rimborso, utile ai fini fiscali per la determinazione dell'eventuale Capital Gain/Loss.

Infatti può avvenire questa "strana" circostanza, di gain o loss, anche se non si è mai eseguita alcuna vendita del bond.

Alla scadenza naturale dello ZC, avviene l' operazione di rimborso, per cui si ha:

data.Regolamento = data.Scad = 29/06/09

P.Mercato(29/06/09) = P.Scad = 104,50

Rateo.Dsg(29/06/09) = Disaggio% = 7,50

P.Teorico(29/06/09) = P.Emis + Disaggio% = P.Scad = 104,50

P.SuperSecco = P.Mercato(29/06/09) – Rateo.Dsg(29/06/09)
= 104,50 – 7,50 = 97,00

Poiché il complesso Comm+Sp+Bolli è normalmente nullo al momento del rimborso, si deduce che:

P.Scarico = 97,00

Si osserva che tale risultato coincide con il P.Emis=97,00. Il fatto non è casuale, poiché si dimostra facilmente che vale sempre la regola:

P.Scarico(data.Scad) = P.Emis

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2° quesito - Vogliamo conoscere la eventuale PlusValenza o MinusValenza realizzata alla data.Scad o di Rimborso.

Ovviamente la risposta dipende dal modo con cui il bond è stato inserito in portafoglio, e cioè se è stato acquistato in sottoscrizione oppure sul mercato.

1°Caso - Titolo acquistato in sottoscrizione, e quindi alla data.Emis

Allora, evidentemente, si ha che:

data.Reg = data.Emis = 29/06/07

P.Mercato(29/06/07) = P.Emis = 97,00

Rateo.Dsg(29/06/07) = 0,00

P.SuperSecco = P.Mercato(29/06/07) - Rateo.Dsg(29/06/07) = 97,00 - 0,00 = 97,00

Comm+Sp+Bolli = 0,00 EUR

Vn = 28.000 EUR

P.Carico = 97,00

Come si vede, il Prezzo di Carico risulta uguale al P.Emis. Anche questa volta il fatto non è casuale, poiché è evidente che, se il bond è stato acquistato in sottoscrizione (essendo il Rateo.Dsg=0), si ha sempre che:

P.Carico(data.Emis) = P.Emis

Conseguenza di ciò è che: se il bond è sato acquistato in sottoscrizione e tenuto in portafoglio sino alla sua scadenza naturale, quindi sino alla data di Rimborso, si ha sempre che:

P.Carico(data.Emis) = P.Scarico(data.Rimborso) = P.Emis

e quindi:

Capital Gain / Loss = 0

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2° Caso - Titolo acquistato sul mercato alle seguenti condizioni:

data.Exe = 2/05/08
data.Reg = 7/05/08

P.Mrk.Acq = 98,10

Vn = 28.000 EUR
Com+Sp+Bolli = 18 EUR

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Al fine di determinare il P.Carico, dobbiamo tener conto che si tratta di uno ZC e che, pertanto, è opportuno applicare il Metodo Esponenziale.
Come sappiamo, esso si avvale della formula della Capitalizzazione Composta per descrivere il Prezzo Teorico dello ZC alla data di regolamento dell'operazione:

P.Teor(t)=P.Emis*(1+i)^t

con t intervallo di tempo tra data.Emis e data.Reg, espresso in anni.

Il grafico di tale funzione è un arco di Curva Esponenziale che congiunge i punti di coordinate: (data.Emis, P.Emis) e (data.Scad, P.Scad).

Nel nostro caso, abbiamo:

data.Reg = 07/05/08

Questa data dista da quella di emissione della quantità di tempo:

data.Reg - data.Emis = 07/05/08 - 29/06/07 = 313 giorni

Ma a noi serve esprimere in anni tale valore (che abbiamo trovato in giorni). A questo punto, per trasformare i giorni in anni, occorrerebbe conoscere la Base di Calcolo: ma, purtroppo, tale dato non è fornito nella scheda EuroTlx.

Non disponendo di tale informazione, siamo costretti a fare delle supposizioni, distinguendo l'eventualità che la Base di Calcolo sia la ACT/ACT oppure la ACT/360.

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ACT/360 - Questa eventualità (molto più semplice della Act/Act) richiede che la trasformazione di un periodo di tempo in anni si ottenga dapprima misurando tale periodo in giorni effettivi e poi dividendo tale numero intero per 360 (poiché si assume come riferimento l'Anno Commerciale che, appunto, è di 360 giorni).

Nel nostro caso sappiamo già il numero effettivo di giorni:

n = data.Reg - data.Emis = 07/05/08 - 29/06/07 = 313 giorni

La trasformazione in anni secondo la convenzione Act/360 è immediata:

t = 313 giorni / 360 giorni = 0,86944 anni

Ora, per calcolare il Prezzo Teorico raggiunto alla data.Reg dell'operazione di acquisto, ci occorre il nuovo Tasso Interno, poiché quello gia determinato con la convenzione Act/Act non può qui essere utilizzato, visto che stiamo applicando la convenzione Act/360:

T = data.Scad - data.Emis
= 29/06/09 - 29/06/07
= 731 giorni

T = 731 giorni / 360 giorni
= 2,03056 anni (con la Base Calcolo Act/360)

i = (P.Scad/P.Emis)^(1/T) - 1
= (104,50/97,00)^(1/2,03056) - 1
= 0,0373586
= 3,73586% (Tasso Interno con la Act/360)

P.Teor(7/05/08) = P.Emis * (1 + i)^t
= 97,00 * (1 + 3,73586/100)^0,86944
= 100,14310

Rateo.Dsg%(7/05/08) = P.Teor(7/05/08) - P.Emis
= 100,14310 - 97,00
= 3,14310

P.SuperSecco = P.Mrk(7/05/08) - Rateo.Dsg%(7/05/08)
= 98,10 - 3,14310
= 94,95690

(Com+Sp+Bol)% = 18 EUR / 28.000 EUR *100 = 0,06429

P.Carico(7/05/08) = 94,96 + 0,06429 = 95,02118

P.Scarico(29/06/09) - P.Carico(7/05/08) = 97,00 - 95,02118 = 1,97882

Capital Gain = 28.000 EUR * 1,97882/100 = 554,07 EUR

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Un Programmino per agevolare il calcolo inerente la Capitalizzazione Composta, con inserimento della opzione Base di Calcolo.
Si raccomanda di caricare preventivamente gli "Elementi Aggiuntivi" di Excel, poiché la function speciale qui utilizzata:

FRAZIONE.ANNO(data1; data2; BaseCalcolo)

si trovra fra questi "elementi".
.
.

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ACT/ACT - Questa eventualità richiede che la trasformazione di un periodo di tempo in anni si ottenga dapprima misurando tale periodo in giorni effettivi, poi dividendo tale numero intero per il numero di giorni effettivi dell'Anno Medio Ponderato, rappresentativo del periodo T tra data.Emis e data.Scad.

Nel nostro caso sappiamo già:

n = data.Reg - data.Emis = 07/05/08 - 29/06/07 = 313 giorni

Per trasformazione in anni secondo la convenzione Act/Act ci serviamo della function:

t = FRAZIONE.ANNO(data.Emis; data.Reg; 1) = 0,85519 anni

Ora, per calcolare il Prezzo Teorico raggiunto alla data.Reg dell'operazione di acquisto, usiamo il Tasso Interno gia determinato con la convenzione Act/Act:

i = 3,79224% (Tasso Interno con la Act/Act)

P.Teor(7/05/08) = P.Emis * (1 + i)^t
= 97,00 * (1 +3,79224/100)^0,85519
= 100,13729

Rateo.Dsg%(7/05/08) = P.Teor(7/05/08) - P.Emis
= 100,13729 - 97,00
= 3,13729

P.SuperSecco = P.Mrk(7/05/08) - Rateo.Dsg%(7/05/08)
= 98,10 - 3,13729
= 94,96271

(Com+Sp+Bol)% = 18 EUR / 28.000 EUR *100 = 0,06429

P.Carico(7/05/08) = 94,96271 + 0,06429 = 95,02700

P.Scarico(29/06/09) - P.Carico(7/05/08) = 97,00 - 95,02700 = 1,97300

Capital Gain = 28.000 EUR * 1,97300/100 = 552,44 EUR

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Osservazione "sulla Base di Calcolo" - Come si vede, scelto il Metodo Esponenziale (assolutamente indicato per gli ZC), la Base di Calcolo influisce pochissimo sulla entità del:

Capital Gain: 554,07 EUR (se BaseCalc=Act/360); 552,44 EUR (se BaseCalc=Act/Act)

Questa considerazione, tuttavia, riveste una importanza relativa poiché la Base di Calcolo non è una scelta né nostra né della banca: questa informazione, infatti, è riportata nel Prospetto Ufficiale del bond e deve pertanto essere rispettata, così com'è.

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Osservazione sulla "scelta del Metodo" - Come sappiamo, vi sono due Metodi per calcolare il Capital Gain / Loss, che definiamo, tanto per intenderci:

Metodo Esponenziale
Metodo Lineare

Il secondo costituisce una approssimazione (una semplificazione) del primo e, in teoria, si dovrebbe applicare soltanto quando i due metodi danno risultati che differiscono di poco l’uno dall’altro.
Ma intanto bisognerebbe definire precisamente che cosa si intenda per “differiscono di poco” prefissando un errore (o tolleranza) al disopra del quale non si vuole (o non si può) andare.

La prassi bancaria, tuttavia, sembra scegliere di applicare il Metodo Lineare, non dico indiscriminatamente, ma spesso e a volte anche in quei casi ove, palesemente, il confondere un segmento di retta con un arco di curva esponenziale appare come minimo azzardato.
Ma così è, e c’è poco da fare, se non tenerne conto, vigilando che in tal modo non si ottengano risultati che ci danneggiano più di tanto.
La scelta di un Metodo o dell'altro influisce infatti sulla valutazione del Gain, e quindi - a parità di somma complessiva "portata a casa" alla chiusura della vendita o del rimborso - può condurre al pagamento di una maggiore imposta sul Capital Gain.

Metodo Esponenziale: basato sulla Capitalizzazione Composta, che si applica per prestiti la cui durata T sia superiore a 1 anno.
La Capitalizzazione Composta consiste nell’aggiungere l’Interesse maturato alla fine di ogni periodo (supponiamo che il periodo sia 1 anno) al Capitale di Inizio periodo, per calcolare su tale complessivo l’Interesse maturato alla fine del periodo successivo.
In parole semplici: gli Interessi maturati in un periodo concorrono a produrre nuovi Interessi a favore del periodo successivo.

Applicando quanto detto si perviene alla Formula:

C(t) = C(0) * (1 + i)^t

con t, misurato in anni e decimali di anno,che varia nell’intervallo 0|---|T.

Tale funzione ha come grafico un arco di Curva Esponenziale che va da C(0) a C(T).

Metodo Lineare: basato sulla Capitalizzazione Semplice, che si applica per prestiti la cui durata T sia non superiore a 1 anno.
In essa l’Interesse I(T) maturato alla fine del periodo T è direttamente proporzionale al Capitale Iniziale C(0), al tasso d’interesse i% e alla intera durata del prestito, T.

Vale quindi la formula:

I(T) = C(0) i T

Tale Interesse si aggiunge al Capitale Iniziale e, il complessivo, forma un nuovo capitale, disponibile alla fine del periodo T, che si chiama Capitale Finale o Montante:

C(T) = C(0) + C(0) i T

Per t che varia nell’intervallo 0|---|T si ha la funzione lineare:

C(t) = C(0) + C(0) i t

o anche:

C(t) = C(0) (1 + i t)

Il cui grafico è un segmento di retta che va da C(0) a C(T).
Di qui la denominazione di Metodo Lineare.

Volendo applicare tale metodo, perché la banca molto probabilmente lo sceglierà - anche se teoricamente non indicato perché il bond è uno ZC con durata ben superiore all’anno -, si ha:

C(0) = P.Emis = 97,00

C(T) = P.Scad = 104,50

T = data.Scad – data.Emis
= 29/06/09 – 29/06/07
= 731 giorni

I(T) = Disaggio = P.Scad – P.Emis = 7,50

Rateo.Dsg.Giornaliero = Disaggio / T
= 7,50 / 731 giorni = 0,01026
Quindi, a partire dalla data.Emis, il Rateo.Dsg si incrementa del valore costante 0,01026 ogni giorno, e così sino alla data.Scad.

n = data.Reg – data.Emis
= 07/05/08 - 29/06/07
= 313 giorni

Rateo.Dsg(data.Reg) = Rateo.Dsg.Giornaliero * n
= 0,01026 * 313 giorni
= 3,21135

P.Teor(data.Reg) = P.Emis + Rateo.Dsg(data.Reg)
= 97,00 + 3,21135
= 100,21135

P.Mrk.Acq = 98,10

P.SuperSecco = P.Mrk – Rateo.Dsg(data.Reg)
= 98,10 - 3,21135
= 94,88865

(Com+Sp+Bol)% = 0,06428

P.Carico = P.SuperSecco + (Com+Sp+Bol)%
= 94,88865 + 0,06428
= 94,95293

P.Scarico = 97,00

CapGain = Vn * (P.Scarico – P.Scarico)/100
= 28.000 * (97,00 - 94,95293)/100
= 573,18 EUR